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分配法則の証明  

A×(B+C)=A×B+A×C
日常に於いては公理とされているこの分配法則の証明を試みる。
 

数学的帰納法による証明
 
数学的帰納法は自然数に関する命題P(n)が全てのn に対して成り立っている事を証明するための、次のような証明手法である。
 
(Ⅰ)  P(1) が成り立つ事を示す。
(Ⅱ)  任意の自然数 k に対して、P(k) ⇒ P(k + 1) が成り立つ事を示す。
(Ⅲ)  以上の議論から任意の自然数 n について P(n) が成り立つ事を結論づける。
 
命題は A×(B+C)=A×B+A×C
Cを変数としてCについて数学的帰納法を用いて証明する。
 
(Ⅰ)  まず左辺のCに1を入力する。
 
A×(B+1)
 
これは乗法の定義により、Aが(B+1)個あるという状態である。(B+1)とはAがB個と1つあるという状態である。よって
A×(B+1)
=A×B+A×1
 
 
右辺のCに1を入力したときと同じ状態になった。
よってC=1のとき命題 A×(B+C)=A×B+A×Cは成立する。

 
(Ⅱ)  まずC=kが成り立つと仮定する。
 
A×(B+k)=A×B+A×k
 
このときC=(k+1)も成立すればよい。左辺のCに(k+1)を入力する。
 
A×{B+(k+1)}
 
結合法則により、足し算の順番は変わっても良い。よって
 
=A×{(B+k)+1}
 
乗法の定義により、これはAが(B+k)と1つあるという状態である。よって
 
=A×(B+k)+A
 
先にA×(B+k)=A×B+A×kが成り立つと仮定されているから
 
=A×B+A×k+A
 
A×k+Aとは乗法の定義により、Aがk個と1つという状態である。よって
 
=A×B+A×(k+1)
 
 
これで、右辺のCに(k+1)を入力したときと同じ状態になった。
よってC=kが成立すると仮定したとき、C=(k+1)が成立した。

 
(Ⅲ)  以上からCがいかなる自然数であろうとも、A×(B+C)=A×B+A×Cは成立する
 
 
ただ、私はこの証明に若干の疑問を持っている。分配法則の場合はABC全てが変数であるのにCのみに数学的帰納法を用いて全体を証明したことになるのだろうか。数学的帰納法を用いた証明の例としてよく用いられる等差数列の和の公式と、分配法則の等式とではやはり違うのではないか。 また、数学的帰納法はどうも自然数に関する命題を証明するためのものの様だが、分配法則はその値が分数でも成立する。
 
私はずぶの素人だ。出来る事ならいつの日か専門家に答えを聞きたい。
 
引用・参照:森羅万象因果応報高校数学の基本問題Wikipedia
 
 
交換法則、結合法則による私的理解
 
次に証明と言えるかどうか不安があるが私見を述べる。
A×(B+C)とは交換法則により(B+C)×Aである。これは(B+C)がA個あるという状態である。
bunnpai[1]

と表せる。これを数式に直すと
A×B+A×C
となる。よって分配法則
A×(B+C)=A×B+A×C は成立する。
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コメント

分配法則の証明に関してですが、実数体においては、このような証明でも構わないと思います。数の概念を使わないで分配法則の証明はできるのでしょうか?

URL |  #-
2013/05/26 20:35 | edit

Re: タイトルなし

> 分配法則の証明に関してですが、実数体においては、このような証明でも構わないと思います。数の概念を使わないで分配法則の証明はできるのでしょうか?

私には分かりません。質問にお答えするだけの頭脳を持ち合わせていない自分を恥ずかしく思います。

URL | Takanori Kobayashi #-
2013/05/27 20:17 | edit

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 |  #
2017/02/19 03:34 | edit

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